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初中数学: 让人头疼的命题证明题, 既没有图也没有数字, 全靠自己凭空想象

发布日期:2022-05-25 05:16    点击次数:80

题目如图:

解:①思路:三角形的外接圆心是三边中垂线的交点。

根据三角形的最大角的度数大小可以将三角形划分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

而圆周角定理的推论:直径所对的圆周角为直角,度数为90°,

所以直角三角形的外接圆直径就是它的斜边,半径为斜边的一半,即:直角三角形的外接圆圆心在斜边上。

设Rt△ABC的外接圆为⊙O,D、E为弧AB、弧AC、弧BC(下半部分)的动点(不经过A、B、C、A关于O的对称点P四点),∠BAC=90°,BC为直径。

①如果∠DAE<∠BAC=90°,即:∠DAE为锐角,DE<BC(所对的圆心角小的圆周角也小),

而在⊙O中,直径BC为最大的弦,所以AE、AD均小于BC,∠AED、∠ADE均小于90°,即:△ADE为锐角三角形。

又因为D、E只能分别在弧CP、BP之间运动,DE随着∠DAE的缩小而缩小,故锐角三角形的外接圆圆心在三角形内部。

②如果∠D′AE′>∠BAC=90°,D′E′<BC,即:△D′AE′为钝角三角形,AD′、AE′均小于BC,

又因为AD′、AE′在弧AC、AB之间运动,D′E′随着∠D′AE′的增大而缩小,故钝角三角形的外接圆圆心在三角形外部。

答:不一定,锐角三角形的外接圆圆心在三角形内部,直角三角形的外接圆圆心在斜边上,钝角三角形的外接圆圆心在三角形外部。

②我们先假设此命题不成立,也就是:直角三角形的直角顶点、外接圆圆心、内接圆圆心有可能在一条直线上。(反证法)

如图:⊙O为Rt△ABC的外接圆,O为圆心且平分BC,⊙O′为Rt△ABC的内接圆,O′为圆心,A、O′、O三点共线。

所以AB、AC、BC为⊙O′的切线,O′D⊥AB,O′E⊥AC,O′O⊥BC,O′D=O′E=OO′,

所以四边形ADO′E为正方形,AO′为对角线,∠AO′E=45°,

又因为A、O′、O三点共线,即:∠AO′E+∠OO′E=180°,所以∠OO′E=135°,∠ACB=45°(另一侧也成立)

所以Rt△ABC为等腰直角三角形,即:此命题为假命题,当直角三角形为等腰直角三角形时,直角顶点、外接圆圆心、内接圆圆心在一条直线上。

③当直角三角形为等腰直角三角形时,外接圆圆心与内接圆圆心的连线和垂直于直角边的半径所成角为135°,所以此情况要排除。

如图:⊙O为Rt△ABC的外接圆,O为圆心且平分BC,⊙O′为Rt△ABC的内接圆,O′为圆心,OO′⊥AC,O′D⊥AC,O′E⊥AB,O′D⊥AC(假设二者垂直),

所以四边形AEO′D为正方形,O、O′、D三点共线,即:OD⊥AC,OD∥AB,

又因为O为BC的中点,所以D为AC的中点(Rt△OCD∾RtBCA),AC=2O′D,

而0<内接圆直径2O′D<EF<AC(四边形ACFE为梯形),与假设矛盾(另一侧同理),

所以,任何直角三角形的外接圆圆心与内接圆圆心的连线一定不垂直于直角边。

④当锐角三角形为等边三角形时,外接圆圆心和内接圆圆心为同一点,即:两圆共心;当锐角三角形为等腰三角形时,外接圆圆心、内接圆圆心均在在底边的中垂线上。(两种情况要排除)

如图:⊙O为△ABC的外接圆,BD为直径,⊙O为△ABC的内接圆,矩形BCDE为⊙O的外接圆。

若A为弧DE之间的动点,要使O在⊙′O上,也就是BD与⊙′O相交,而⊙′O必与BC相切,

所以,只要是非等腰锐角三角形必须保证内接圆与BD相交,外接圆圆心就在内接圆上,此时,只有两个解满足条件。

⑤此命题不一定是正确的,举一个反例:

如图:设等腰直角三角形ABC的腰长为a,等边三角形ADE的边长为b,二者共圆,那么,它们的外接圆半径为√2a/2(a、b>0)。

在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=a,BC=√2a,直角顶点、外接圆圆心、内接圆圆心三点共线,设内接圆半径为r(r>0),

√2r+r=√2a/2,解得,r=(2-√2)a/2。

在等边三角形ADE中,AD=AE=DE=b,高线=√3b/2,设内接圆半径为r(r>0),

3r=√3b/2,解得,r=√3b/6。

所以,只要使满足二元一次方程(2-√2)a/2=√3b/6的解就可以证明此命题不成立。